Como calcular uma Integral: passo a passo

Uma integral é uma medida da área sob uma curva. Ela é usada em várias áreas, como Física, Matemática e Engenharia, para resolver problemas relacionados a quantidades contínuas, como volume, massa e energia. Neste artigo, explicaremos como calcular uma integral usando diferentes métodos.

Método 1: Integração por Substituição

A integração por substituição é um método usado para encontrar a integral indefinida de uma função f(x) por meio da substituição de uma nova variável, g(u), a partir de uma relação inversa entre x e u.

Passo 1: Encontre a relação inversa entre x e u. Isso significa que, dado u, você pode encontrar x e vice-versa.

Passo 2: Substitua x em termos de u em f(x).

Passo 3: Calcule a derivada da relação inversa encontrada no Passo 1.

Passo 4: Multiplique a função f(x) por dx/du, encontrado no Passo 3.

Passo 5: Integre a nova função obtida no Passo 4 em relação a u.

Passo 6: Substitua u de volta em x para obter a integral indefinida de f(x).

Método 2: Integração por Partes

A integração por partes é um método usado para encontrar a integral indefinida de uma função f(x)·g(x) por meio da decomposição em duas funções, u(x) e dv(x)/dx.

Passo 1: Escolha u(x) e dv(x)/dx de modo que a integral de u(x) seja fácil de calcular e a integral de dv(x)/dx seja fácil de encontrar usando outro método, como a Integração por Substituição.

Passo 2: Calcule a derivada de u(x) e a integral de dv(x)/dx.

Passo 3: Use a fórmula da Integração por Partes: ∫u(x)·dv(x) = u(x)·v(x) - ∫v(x)·du(x).

Passo 4: Resolva a equação obtida no Passo 3 para encontrar a integral indefinida de f(x)·g(x).

Passo 5: Verifique se sua solução é correta, usando uma regra de integração conhecida ou verificando-a numéricamente.

Conclusão:

Existem vários métodos para calcular integrais, cada um adequado para funções específicas. A Integração por Substituição e a Integração por Partes são dois métodos comuns que podem ser úteis em diferentes situações. É importante praticar esses métodos para se tornar habilidoso na solução de problemas que envolvem integrais.